Polinomio de grado 2010
Denotamos por S(n) la suma S(n) = 2010n2010 - 2009n2009 + ... + 4n4 - 3n3 + 2n2 - n.
Comprobad que el número T = S(1) + S(2) + S(3)+ S(4) + S(5) + S(6) + S(7) + S(8) + S(9) es positivo, y calculad la cifra de las unidades.
Sectores circulares.
Era la noche de un domingo como muchos otros en los que me dirigía a la cama, bien relajado tras el consumo placentero de unas cuantas frialdades, cuando de repente, un mensaje salvaje aparece en mi Whatsapp. Era un llave de la U, cuyo nombre no pienso mencionar, pero que para esos tiempos de mi pregrado; sin duda alguna se veía y se sentía como un Hugo Rodallega albino o descolorado. Dicho mensaje, carente de un cordial saludo o de formalidad alguna, simplemente me invitaba (con muchas mayúsculas) a compartir con ustedes un reto de esos que me parecen simplemente crocantes. Así pues, honrando la buena acción e invitación de parte de mi amigo, aquí les dejo el reto geométrico que inspira a esta entrada en el blog. El área del cuarto de círculo de la figura de abajo es \(16 \pi u^{2}\). Determine el área de la superficie de color azul.
Razonemos de a siguiente manera, es claro n^2010>n^2009>n^2008>....>n para todo n>=0. De aquí se sigue qué:
ResponderBorrar2010(n^2010)-2009(n^2009)>0
2008(n^2008)-2007(n^2007)>0
2006(n^2006)-2005(n^2005)>0
.
.
.
2 (n^2)-(n)>0
para todo n>0
por tanto la suma de estas desigualdades resulta que S(n)>0 para todo n>0. Por tanto T=S(1)+S(2)+S(3)+S(4)+S(5)+S(6)+S(7)+S(8)+S(9)>0. Es decir , positivo.